Задача 53592

Тема:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На прямой расположены точки A, B, C и D, следующие друг за другом в указанном порядке. Известно, что BC = 3, AB = 2 ^. CD. Через точки A и C проведена некоторая окружность, а через точки B и D - другая. Их общая хорда пересекает отрезок BC в точке K. Найдите BK.

Подсказка

Примените дважды теорему об отрезках пересекающихся хорд.

Решение

Пусть CD = a, AB = 2a. Обозначим BK = x. Тогда

KC = 3 - x, KD = DC + KC = a + 3 - x, AK = AB + BK = 2a + x.

Пусть MN - общая хорда указанных окружностей. Тогда

AK ^. KC = MK ^. NK = BK ^. KD,

откуда

(2a + x) ^. (3 - x) = x ^. (a + 3 - x).

Из этого уравнения находим, что x = 2.

Ответ

2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1333