Задача 53593

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC. Докажите, что расстояние между серединами отрезков BC и AH равно радиусу описанной окружности треугольника ABC.

Подсказка

Расстояние от точки пересечения высот треугольника до его вершины вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.

Решение

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, M и N — середины отрезков AH и BC соответственно. Докажем сначала, что AM = ON. Для этого соединим точку M с серединой K отрезка BH, а точку N — с серединой L отрезка AC. Тогда MK и NL — средние линии треугольников ABH и ABC, поэтому MK = NL и MKNL, а т.к. HMON и HKOL, то треугольники MHK и NOL равны по стороне и прилежащим к ней углам. Следовательно, ON = HM = AM.

Поскольку ON = AM и ONAM, то четырехугольник AMNO — параллелограмм. Значит, MN = OA. Осталось заметить, что OA — радиус описанной окружности треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1334