Задача 53599

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Признаки подобия ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке A. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке D. Прямая AD вторично пересекает большую окружность в точке M. Найдите MB, если  MA = a,  MD = b.

Подсказка

Точка M – середина дуги BC.

Решение

Пусть общая касательная к данным окружностям, проведённая через точку A, пересекает прямую BC в точке P. Тогда  ∠MAP = ∠ADP.  Пусть α, β и γ – величины дуг CM (не содержащей точки A), BM (не содержащей точки A) и AB (не содержащей точки C) соответственно. Из равенства углов MAP и ADP следует равенство  γ + β = α + γ,  откуда  α = γ.  Значит,  ∠DBM = ∠CBM = ∠CAM = ∠BAM  и треугольники BDM и ABM подобны по двум углам. Следовательно,  BM : DM = AM : BM,  откуда  BM² = AM·DM = ab.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1340