Задача 53607

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Пусть в выпуклом четырёхугольнике ABCD нет параллельных сторон. Обозначим через E и F точки пересечения прямых AB и DC, BC и AD соответственно (точка A лежит на отрезке BE, а точка C — на отрезке BF). Докажите, что четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда EA + AF = EC + CF.

Подсказка

Докажите, что биссектрисы углов BAD, BCD и BEC пересекаются в одной точке.

Решение

Необходимость. Дано: ABCD — описанный четырёхугольник. Пусть касательные к вписанной окружности из точек A, B, C, D, E и F равны соответственно a, b, c, d, e и f. Тогда

EA = e - a, AF = a + f, EC = e + c, CF = f - c.

Значит,

EA + AF = (e - a) + (a + f )= e + f, EC + CF = (e + c) + (f - c) = e + f.

Следовательно, EA + AF = EC + CF.

Достаточность. Пусть выполняется равенство EA + AF = EC + CF. Докажем, что биссектрисы углов BAD, BCD и BEC пересекаются в одной точке. Отсюда будет следовать, что ABCD — описанный четырёхугольник. (Точка пересечения этих биссектрис будет равноудалена от AB и AD, BC и CD, а также от AB и CD.)

Возьмём на продолжении отрезка EA за точку A такую точку T, чтобы AT = AF, а на продолжении отрезка EC за точку C — такую точку S, чтобы CS = CF. Поскольку ET = EA + AF, а ES = EC + CF, то из условия следует, что ET = ES.

Рассмотрим треугольник TFS. Серединный перпендикуляр к стороне TS этого треугольника является биссектрисой угла TES (или угла BEC). Это следует из равнобедренности треугольника TES. Аналогично докажем, что серединный перпендикуляр к стороне TF есть биссектриса угла TAF (или угла BAD), а серединный перпендикуляр к стороне SF — биссектриса угла CSF (или угла BCD). Следовательно, указанные биссектрисы пересекаются в одной точке — центре описанной окружности треугольника TFS.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1348