ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 53608
УсловиеПусть в выпуклом четырёхугольнике ABCD нет параллельных сторон. Обозначим через E и F точки пересечения прямых AB и DC, BC и AD соответственно (точка A лежит на отрезке BE, а точка C — на отрезке BF). Докажите, что четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда ED + BF = DF + BE.
ПодсказкаДокажите, что биссектрисы углов BEC, BFA и ABC пересекаются в одной точке.
РешениеНеобходимость. Дано: ABCD — описанный четырёхугольник. Пусть касательные к вписанной окружности из точек A, B, C, D, E и F равны соответственно a, b, c, d, e и f. Тогда
ED = e - d, BF = b + f, DF = f - d, BE = b + e.
Значит,
ED + BF = e - d + b + f, DF + BE = f - d + b + e.
Следовательно,
ED + BF = DF + BE.
Достаточность. Пусть выполняется равенство ED + BF = DF + BE. Тогда BF - DF = BE - ED. Докажем, что биссектрисы углов BEC, BFA и ABC пересекаются в одной точке. Отсюда будет следовать, что ABCD — описанный четырёхугольник. (Точка пересечения этих биссектрис будет равноудалена от AB и CD, BC и AD, а также от AB и BC.) Возьмем на продолжении отрезка EA за точку A такую точку T, чтобы ET = ED, а на продолжении отрезка FC за точку C — такую точку S, чтобы FS = FD. Поскольку
BT = BE - ET = BE - ED, BS = BF - SF = BF - DF,
то из условия следует, что BT = BS.
Рассмотрим треугольник TDS. Серединный перпендикуляр к стороне
TD этого треугольника является биссектрисой угла TED (или угла
BEC). Это следует из равнобедренности треугольника TED. Аналогично
докажем, что серединный перпендикуляр к стороне SD есть биссектриса
угла SFD (или угла BFA), а серединный перпендикуляр к стороне ST —
биссектриса угла TBS (или угла ABC).
Следовательно, указанные биссектрисы пересекаются в одной
точке — центре описанной окружности треугольника TDS.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |