Задача 53608

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Пусть в выпуклом четырёхугольнике ABCD нет параллельных сторон. Обозначим через E и F точки пересечения прямых AB и DC, BC и AD соответственно (точка A лежит на отрезке BE, а точка C — на отрезке BF). Докажите, что четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда ED + BF = DF + BE.

Подсказка

Докажите, что биссектрисы углов BEC, BFA и ABC пересекаются в одной точке.

Решение

Необходимость. Дано: ABCD — описанный четырёхугольник. Пусть касательные к вписанной окружности из точек A, B, C, D, E и F равны соответственно a, b, c, d, e и f. Тогда

ED = e - d, BF = b + f, DF = f - d, BE = b + e.

Значит,

ED + BF = e - d + b + f, DF + BE = f - d + b + e.

Следовательно, ED + BF = DF + BE.

Достаточность. Пусть выполняется равенство ED + BF = DF + BE. Тогда BF - DF = BE - ED. Докажем, что биссектрисы углов BEC, BFA и ABC пересекаются в одной точке. Отсюда будет следовать, что ABCD — описанный четырёхугольник. (Точка пересечения этих биссектрис будет равноудалена от AB и CD, BC и AD, а также от AB и BC.)

Возьмем на продолжении отрезка EA за точку A такую точку T, чтобы ET = ED, а на продолжении отрезка FC за точку C — такую точку S, чтобы FS = FD. Поскольку

BT = BE - ET = BE - ED, BS = BF - SF = BF - DF,

то из условия следует, что BT = BS. Рассмотрим треугольник TDS. Серединный перпендикуляр к стороне TD этого треугольника является биссектрисой угла TED (или угла BEC). Это следует из равнобедренности треугольника TED. Аналогично докажем, что серединный перпендикуляр к стороне SD есть биссектриса угла SFD (или угла BFA), а серединный перпендикуляр к стороне ST — биссектриса угла TBS (или угла ABC). Следовательно, указанные биссектрисы пересекаются в одной точке — центре описанной окружности треугольника TDS.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1349