|
|
 |
Условие
На прямой расположены три точки A, B и C, причём AB = BC = 3. Три окружности радиуса R имеют центры в точках A, B и C.
Найдите радиус четвёртой окружности, касающейся всех трёх данных, если а) R = 1; б) R = 2; в) R = 5.
Решение
Пусть x – радиус искомой окружности, O – её центр. Расстояния от центров данных окружностей до точки O могут быть
равны либо x + R (внешнее касание), либо |x – R| (внутреннее касание). Все три отрезка равными быть не могут. Значит, возможны два случая (с точностью до симметрии).
1) OA = OC = x + R, OB = |x – R| (рис. слева).
По теореме Пифагора (x + R)² – (x – R)² = 9, откуда x = 9/4R.
2) OA = OB = |x – R|, OC = x + R (рис. справа).
Пусть D – середина AB. Тогда (x + R)² – 81/4 = OD² = (x – R)² – 9/4, откуда x = 9/2R.
При этом должны выполняться условия: (x + R) + |x – R| ≥ 6, (x + R) – |x – R| ≤ 3.
Решая эти неравенства при x = 9/2R, получим, что R ≤ 3/2 или R ≥ 3.
Ответ
а) 9/4 и 9/2; б) 9/8; в) 9/20 и 9/10.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1353 |
