Задача 53620

Тема:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC сторона BC равна 4, а медиана, проведённая к этой стороне, равна 3. Найдите длину общей хорды двух окружностей, каждая из которых проходит через точку A и касается BC, причём одна касается BC в точке B, а вторая — в точке C.

Подсказка

Докажите, что продолжение общей хорды указанных окружностей проходит через середину BC.

Решение

Пусть D — вторая точка пересечения указанных окружностей, а прямая AD пересекает BC в точке M. Тогда по теореме о касательной и секущей

MB² = MA ^. MD = MC²,

поэтому MB = MC, т.е. AM — медиана треугольника ABC, AM = 3. Из уравнения

MA(MA - AD) = MB², или 3(3 - AD) = 4

находим, что AD = .

Пусть D — вторая точка пересечения указанных окружностей, а прямая AD пересекает BC в точке M. Тогда по теореме о касательной и секущей

MB² = MA ^. MD = MC²,

поэтому MB = MC, т.е. AM — медиана треугольника ABC, AM = 3. Из уравнения

MA(MA - AD) = MB², или 3(3 - AD) = 4

находим, что AD = .

Пусть D — вторая точка пересечения указанных окружностей, а прямая AD пересекает BC в точке M. Тогда по теореме о касательной и секущей

MB² = MA ^. MD = MC²,

поэтому MB = MC, т.е. AM — медиана треугольника ABC, AM = 3. Из уравнения

MA(MA - AD) = MB², или 3(3 - AD) = 4

находим, что AD = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1355