Задача 53640

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что площадь прямоугольного треугольника с острым углом в 15° равна одной восьмой квадрата гипотенузы.

Подсказка

Проведите медиану из вершины прямого угла.

Решение

  Пусть ABC – данный прямоугольный треугольник,  ∠C = 90°,  ∠A = 15°,  AB = c.
  Проведём медиану CM. Тогда  CM = BM = AM = ½ AB = ^c/₂,  ∠BMC = ∠A + ∠ACM = 30°.
  Пусть CD – высота треугольника BCM. Из прямоугольного треугольника CDM находим, что  CD = ½ CM = ^c/₄.
  Следовательно,  S_ABC = ½ AB·CD = ^c²/₈.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1375