Задача 53657

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Две окружности касаются внешним образом. К ним проведена общая внешняя касательная. На отрезке этой касательной, заключённом между точками касания, как на диаметре построена окружность. Докажите, что она касается линии центров первых двух окружностей.

Подсказка

Проведите общую внутреннюю касательную к данным окружностям.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей, AB — указанная касательная (A и B — точки касания). Проведём через точку K касания окружностей общую внутреннюю касательную. Пусть M — её точка пересечения с отрезком AB. Поскольку MA = MK = MB, то окружность, построенная на отрезке AB как на диаметре, имеет центр в точке M и проходит через точку K, а т.к. MK O₁O₂, то O₁O₂ — касательная к построенной окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1392