Задача 53673

Темы:    [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Радиус окружности, вписанной в ромб, равен r, а острый угол ромба равен . Найдите сторону ромба.

Решение

Пусть окружность радиуса r с центром O, вписанная в ромб ABCD с углом 30^o при вершине B, касается противоположных сторон BC и AD в точках M и N соответственно. Поскольку диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то O — точка пересечения диагоналей ромба ABCD

Радиусы OM и ON перпендикулярны противоположным сторонам BC и AD ромба, значит точка O лежит на отрезке MN. Поэтому MN = OM + ON = 2r.

Из вершины A опустим перпендикуляр AH на BC. Тогда AH = MN = 2r. Из прямоугольного треугольника AHB находим, что

AB = = .

Пусть окружность радиуса r с центром O, вписанная в ромб ABCD с углом 30^o при вершине B, касается противоположных сторон BC и AD в точках M и N соответственно. Поскольку диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то O — точка пересечения диагоналей ромба ABCD

Радиусы OM и ON перпендикулярны противоположным сторонам BC и AD ромба, значит точка O лежит на отрезке MN. Поэтому MN = OM + ON = 2r.

Из вершины A опустим перпендикуляр AH на BC. Тогда AH = MN = 2r. Из прямоугольного треугольника AHB находим, что

AB = = .

Пусть окружность радиуса r с центром O, вписанная в ромб ABCD с углом 30^o при вершине B, касается противоположных сторон BC и AD в точках M и N соответственно. Поскольку диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то O — точка пересечения диагоналей ромба ABCD

Радиусы OM и ON перпендикулярны противоположным сторонам BC и AD ромба, значит точка O лежит на отрезке MN. Поэтому MN = OM + ON = 2r.

Из вершины A опустим перпендикуляр AH на BC. Тогда AH = MN = 2r. Из прямоугольного треугольника AHB находим, что

AB = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1408