Задача 53697

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Хорды и секущие (прочее) ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Два квадрата ABCD и KLMN расположены так, что вершины B, C, K и N лежат на одной прямой, а четыре оставшиеся расположены по разные стороны от BC и лежат на одной окружности. Известно, что сторона одного из квадратов на 1 больше стороны другого. Найдите расстояние от центра окружности до прямой BC.

Решение

  Обозначим через x сторону меньшего квадрата KLMN, тогда сторона квадрата ABCD равна  x + 1.  Пусть прямая, проходящая через центр O указанной окружности перпендикулярно BC, пересекает BC в точке F,  OF = a.
  Первый способ. Пусть прямая OF пересекает LM в точке Q,  P – проекция точки O на DC, R – радиус окружности.
  По теореме Пифагора  (a + x)² + ¼ x² = OQ² + QM² = R² = OP² + DP² = ¼ (x + 1)² + (x + 1 – a)².
  Отсюда  (a + x)² – ((x + 1 – a)² = ¼ ((x + 1)² – x²),  или  2a – 1 = ¼,  то есть  a = ⁵/₈.

  Второй способ. Заметим, что отрезок MN лежит на хорде длины  2(x + a).  Пусть отрезок BC лежит на хорде длины 2b. Тогда  b² = MF·FA = ⁵/₄ x(x + 1).
  С другой стороны, вычисляя двумя способами степень точки N, получаем  (b – ^x/₂)(b + ^x/₂) = x(x + 2a),  то есть  2ax = b² – ⁵/₄ x² = ^5x/₄,  откуда  a = ⁵/₈.

Ответ

⁵/₈.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1431