Задача 53699

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На прямой расположены точки A, B, C и D, причём  AB = BC = CD.  Отрезки AB, BC и CD служат диаметрами окружностей. Из точки A к окружности с диаметром CD проведена касательная l. Найдите отношение хорд, высекаемых на прямой l окружностями с диаметрами AB и BC.

Подсказка

Опустите перпендикуляры из центров окружностей на прямую l.

Решение

  Пусть O₁, O₂, O₃ – центры окружностей Ω₁, Ω₂, Ω₃3 радиуса R с диаметрами AB, BC и CD соответственно; AM и NK – хорды, высекаемые на прямой l с Ω₁ и Ω₂; L – точка касания прямой l с Ω₃; E и F – проекции точек O₁ и O₂ на прямую l.
  Треугольник AO₁E подобен треугольнику AO₃L с коэффициентом ¹/₅, а треугольник AO₂F подобен треугольнику AO₃L с коэффициентом ³/₅, поэтому
O₁E = ¹/₅ O₃L = ^R/₅,  O₂F = ³/₅ O₃L = ^3R/₅.
  Из прямоугольных треугольников O₁EM и O₂FK по теореме Пифагора находим, что  
  Следовательно,  

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1433