Задача 53701

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 8, 15 и 17. Найдите радиус описанной около треугольника окружности.

Подсказка

Продолжите высоты AD, BE и CF данного треугольника ABC до пересечения с описанной окружностью в точках A', B' и C' соответственно. Тогда треугольник A'B'C' подобен треугольнику DEF с коэффициентом 2.

Решение

Пусть AD, BE и CF — высоты остроугольного треугольника ABC; H — точка их пересечения (ортоцентр); DF = 8, EF = 15, DE = 17. Поскольку 8² + 15² = 17², то треугольник DEF -- прямоугольный, DFE = 90^o.

Подолжим отрезки AD, BE и CF до пересечения с описанной окружностью треугольника ABC в точках A', B' и C' соответственно. Поскольку точка, симметричная отроцентру треугольника, лежит на описанной окружности, то FE, DE и DF — средние линии треугольников B'HC', A'HB' и A'HC' соответственно. Из этого следует, что треугольник A'B'C' подобен треугольнику DEF с коэффициентом 2. Значит, треугольник A'B'C' — также прямоугольный, его гипотенуза A'B' равна 34, а радиус описанной окружности равен 17.

Ответ

17.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1435