Информация о задаче

Задача 53703

Темы:	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
Темы:	[	Ромбы. Признаки и свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В ромбе ABCD точка Q делит сторону BC в отношении 1 : 3, считая от вершины B, а точка E — середина стороны AB. Известно, что медиана CF треугольника CEQ равна 2 $\sqrt{2}$ , а EQ = $\sqrt{2}$ . Найдите радиус окружности, вписанной в ромб ABCD.

Подсказка

Воспользуйтесь формулой для медианы треугольника:

m² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (2a² + 2b² - c²),

где a, b, c — стороны треугольника, m — медиана, проведённая к стороне, равной c.

Решение

Воспользуемся формулой для медианы треугольника:

m² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (2a² + 2b² - c²),

где a, b, c — стороны треугольника, m — медиана, проведённая к стороне, равной c.

Обозначим BQ = x, AC = 2y. Пусть O — точка пересечения диагоналей ромба ABCD, M — середина стороны BC. Тогда

OC = y, AB = BC = 4x, MQ = x,

а т.к. ME — средняя линия треугольника ABC, то ME = ${\frac{1}{2}}$ AC = y.

Поскольку EQ - медиана треугольника BEM, то

EQ² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (2BE² + 2EM² - BM²), или 2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (2^.4x² + 2y² - 4x²),

или

2x² + y² = 4.

Поскольку CE — медиана треугольника ABC, то

CE² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (2AC² + 2BC² - AB²) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (8y² + 32x² - 16x²) = 4x² + 2y².

Поскольку CF — медиана треугольника CEQ, то

8 = CF² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (2CE² + 2CQ² - EQ²) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (8x² + 4y² + 18x² - 2) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (26x² + 4y² - 2),

откуда

13x² + y² = 17.

Из полученной системы уравнений

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} 2x^{2}+y^{2} = 4\\ 13x^{2}+y^{2} = 17\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} 2x^{2}+y^{2} = 4\\ 13x^{2}+y^{2} = 17\\ \end{array}$

находим, что x = 1, y = $\sqrt{2}$ . Тогда

OB² = BC² - OC² = 16 - 2 = 14.

Пусть OP — высота прямоугольного треугольника BOC. Тогда OP — радиус окружности, вписанной в ромб. Поскольку BC^.OP = OB^.OC, то

OP = $\displaystyle {\frac{OB\cdot OC}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{14}\cdot \sqrt{2}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{7}}{2}}$ .

Ответ

${\frac{\sqrt{7}}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1437