Задача 53715

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Через одну из точек пересечения двух равных окружностей проведена общая секущая. Докажите, что отрезок этой секущей, заключённый между окружностями, делится пополам окружностью, построенной на общей хорде этих окружностей как на диаметре.

Подсказка

Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги равных окружностей, равны.

Решение

Пусть A и B — точки пересечения двух равных окружностей, CD — отрезок общей секущей, проведённой через точку A, заключённый между окружностями, M — точка, в которой окружность с диаметром AB пересекает отрезок CD. Тогда BM CD, а т.к. углы BCD и BDC равны (вписанные углы, опирающиеся на равные дуги равных окружностей), то высота BM равнобедренного треугольника BCD является его медианой, т.е. CM = DM.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1449