Информация о задаче

Задача 53727

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольнике ABCD, где AB = 6, AD = 3 $\left(\vphantom{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}\right.$ 1 + ${\frac{\sqrt{2}}{2}}$ $\left.\vphantom{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)$ , расположены две окружности. Окружность радиуса 2 с центром в точке K касается сторон AB и AD. Окружность радиуса 1 с центром в точке L касается стороны CD и первой окружности. Найдите площадь треугольника CLM, если M — основание перпендикуляра, опущенного из вершины B на прямую, проходящую через точки K и L.

Подсказка

Пусть N — точка касания первой окружности со стороной AB, G — проекция точки L на прямую NK. Тогда $\angle$ MBN = $\angle$ LKG = 45^o.

Решение

Пусть N и H — точки касания первой окружности со сторонами AB и AD соответственно, F — точка касания второй окружности со стороной CD, E — проекция точки K на CD, G — проекция точки L на KE, P — точка пересечения прямых KL и CD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник KGL. В нем

KL = 2 + 1 = 3, KG = NE - NK - GE = NE - NK - LF =

= $\displaystyle \left(\vphantom{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}\right.$ 1 + $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)$ - 2 - 1 = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{2}}{2}}$ ,

cos $\displaystyle \angle$ GKL = $\displaystyle {\frac{KG}{KL}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ , $\displaystyle \angle$ GKL = 45^o.

Поскольку $\angle$ HAK = 45^o, то точки A, K и L лежат на одной прямой. Из равнобедренного прямоугольного треугольника ABM находим, что

AM = AB sin 45^o = 3 $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Поэтому

LM = AK + KL - AM = 2 $\displaystyle \sqrt{2}$ + 3 - 3 $\displaystyle \sqrt{2}$ = 3 - $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Поскольку $\angle$ LFP = $\angle$ KGL = 45^o, то FP = LF = 1, поэтому

CP = CD - DE - EF - FP = 6 - 2 - $\displaystyle {\frac{3\sqrt{2}}{2}}$ - 1 = 3 - $\displaystyle {\frac{3\sqrt{2}}{2}}$ .

Пусть CQ — высота треугольника CLM. Тогда

CQ = CP sin $\displaystyle \angle$ CPQ = CP sin 45^o = $\displaystyle \left(\vphantom{3 - \frac{3\sqrt{2}}{2}}\right.$ 3 - $\displaystyle {\frac{3\sqrt{2}}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{3 - \frac{3\sqrt{2}}{2}}\right)$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ = 3( $\displaystyle \sqrt{2}$ - 1).

Следовательно,

S_CLM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ LM^.CQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (3 - $\displaystyle \sqrt{2}$ )(3 $\displaystyle \sqrt{2}$ - 1) = $\displaystyle {\frac{3(4\sqrt{2} - 5)}{4}}$ .

Ответ

${\frac{3(4\sqrt{2} - 5)}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1461