Задача 53742

Темы:    [ Трапеции (прочее) ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На диагоналях AC и BD трапеции ABCD взяты соответственно точки M и N так, что  AM : MC = DN : NB = 1 : 4.
Найдите MN, если основания  AD = a,  BC = b  (a > b).

Подсказка

Продолжите MN до пересечения с одной из боковых сторон трапеции.

Решение

  Проведём через точку M прямую, параллельную основаниям. Пусть K и N₁ – её точки пересечения со стороной CD и диагональю BD соответственно (см. рис.). Из теоремы Фалеса следует, что  DK : KC = AM : MC = 1 : 4,  DN₁ : N₁B = DK : KC = 1 : 4.  Поэтому точка N₁ совпадает с точкой N. Следовательно,
MN || AD.
  Из подобия треугольников CKM и CDA находим, что  MK = ⁴/₅ AD = ⁴/₅ a,  а из подобия треугольников DKN и DCB –   KN = ¹/₅ BC = ¹/₅ b.
  Следовательно,  MN = MK – KN = ¹/₅ (4a – b).

Ответ

¹/₅ (4a – b).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1506