Задача 53745

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Решение

Пусть CD – биссектриса треугольника ABC.

Первый способ. Проведём через вершину A прямую, параллельную BC, и продолжим биссектрису до пересечения с этой прямой в точке K (рис. слева). Поскольку  ∠ACK = ∠KCB = ∠CKA,  треугольник CAK равнобедренный,  AK = AC.  Из подобия треугольников ADK и BDC следует, что  AC : BC = AK : BC = AD : DB.

Второй способ.  AD : DB = S_ADC : S_BDC = AC sin∠ACD : BC sin∠BDC = AC : BC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1509