ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53781
Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Признаки подобия ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через произвольную точку P стороны AC треугольника ABC параллельно его медианам AK и CL проведены прямые, пересекающие стороны BC и AB в точках E и F соответственно. Докажите, что медианы AK и CL делят отрезок EF на три равные части.


Подсказка

Пусть N – точка пересечения медиан CL с отрезком FE. Используя подобие соответствующих треугольников, докажите, что  NE = 1/3 EF.


Решение

  Пусть M и N – точки пересечения отрезка EF с медианами AK и CL соответственно, а Q – точка пересечения отрезка PE с медианой CL. Если O – точка пересечения медиан треугольника ABC, то  OK = 1/3 AK,  а так как  PE || AK,  то   QE = 1/3 PE.
  Из подобия треугольников QEN и PEF  (QN || PF)  следует, что  EN = 1/3 EF.  Аналогично  FM = 1/3 EF.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1545

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .