Задача 53781

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Признаки подобия ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Готман Э.Г.

Через произвольную точку P стороны AC треугольника ABC параллельно его медианам AK и CL проведены прямые, пересекающие стороны BC и AB в точках E и F соответственно. Докажите, что медианы AK и CL делят отрезок EF на три равные части.

Подсказка

Пусть N – точка пересечения медиан CL с отрезком FE. Используя подобие соответствующих треугольников, докажите, что  NE = ¹/₃ EF.

Решение

  Пусть M и N – точки пересечения отрезка EF с медианами AK и CL соответственно, а Q – точка пересечения отрезка PE с медианой CL. Если O – точка пересечения медиан треугольника ABC, то  OK = ¹/₃ AK,  а так как  PE || AK,  то   QE = ¹/₃ PE.
  Из подобия треугольников QEN и PEF  (QN || PF)  следует, что  EN = ¹/₃ EF.  Аналогично  FM = ¹/₃ EF.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1545