Задача 53783

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В четырёхугольнике ABCD точка E – середина AB, F – середина CD.
Докажите, что середины отрезков AF, CE, BF и DE являются вершинами параллелограмма.

Подсказка

Четырёхугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, – параллелограмм.

Решение

Пусть точки M, N, K и L – середины отрезков AF, CE, BF и DE соответственно. Средняя линия LN треугольника DEC пересекает медиану EF этого треугольника в её середине – точке O, а средняя линия MK треугольника AFB пересекает медиану FE этого треугольника также в её середине, то есть также в точке O. При этом точка O – середина LN и середина MK. Следовательно, MNKL – параллелограмм.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1547