Задача 53784

Темы:    [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Подобные треугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольник вписан ромб со стороной m так, что одни угол у них общий, а противоположная вершина ромба лежит на стороне треугольника и делит эту сторону на отрезки, равные p и q. Найдите стороны треугольника.

Подсказка

Стороны ромба, не проходящие через вершину треугольника, отсекают от данного треугольника подобные между собой треугольники.

Решение

  Пусть вершины M, N и K ромба AMKN лежат соответственно на сторонах AB, AC и BC треугольника ABC и  BK = p,  CK = q.  Из подобия треугольников CKN и KBM находим, что  KN : BM = CK : BK.  Следовательно,  BM = ^KN/_CK·BK = ^mp/_q,  AB = AM + BM = m + ^mp/_q = ^m(p+q)/_q.
  Аналогично находим AC.

Ответ

p + q,  ^{m(p + q)}/_p,  ^{m(p + q)}/_q.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1548