Задача 53797

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC на основании AC взяты точки P и Q так, что  AP < AQ.  Прямые BP и BQ делят медиану AM на три равные части. Известно, что  PQ = 3.
Найдите AC.

Подсказка

Через вершину B проведите прямую, параллельную AC.

Решение 1

  Проведём через вершину B прямую, параллельную AC, и продолжим медиану AM до пересечения с этой прямой в точке T. Из равенства треугольников BMT и CMA следует, что  BT = AC  и  MT = AM  (рис. слева).
  Пусть F и H – точки пересечения медианы AM с отрезками BP и BQ соответственно. Тогда  AF = ¹/₆ AT,  AH = ¹/₃ AT.
  Из подобия треугольников AFP и TFB следует, что   AP = ¹/₅ BT = ¹/₅ AC,  а из подобия треугольников AHQ и THB –  AQ = ½ BT = ½ AC.
  Поскольку  AQ – AP = PQ = 3,  то   ½ AC – ¹/₅ AC = 3.  Отсюда находим, что  AC = 10.

Решение 2

  Из условия ясно, что H – точка пересечения медиан треугольника ABC (рис. справа; точки F и H – те же, что в решении 1). Проведём через точку H прямую, параллельную BP; пусть она пересекает AC в точке K. По теореме Фалеса  PK : KQ = BH : HQ = 2:1,  то есть  PK = 2,  KQ = 1.  FP – средняя линия треугольника HAK, значит,  AP = PK = 2.  Следовательно,  AC = 2AQ = 2·(2 + 2 + 1) = 10.

Ответ

10.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1561