ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53801
Темы:    [ Две пары подобных треугольников ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC точки D и E делят боковые стороны в отношении  BD : DA = BE : EC = n.  Найдите углы треугольника, если AECD.


Подсказка

Используя подобие треугольников, найдите  tg∠DAE.


Решение 1

  Поскольку треугольник ABC – равнобедренный, то ADEC – равнобедренная трапеция. Пусть K – точка пересечения её диагоналей. Треугольник DBE подобен треугольнику ABC (с коэффициентом n/n+1), а треугольник DKE подобен треугольнику CKA (с тем же коэффициентом). Значит,
tg∠KAD = DK/AK = n/n+1,  tg∠KAC = 1.
  Поэтому  


Решение 2

  Проведём через точку D прямую, параллельную AE, до пересечения с высотой BM в точке L.
  Равнобедренный прямоугольный треугольник KDL подобен треугольнику AKC с коэффициентом n/n+1. Значит,  KL = n/n+1 AC.
  BK : LK = AB : AD = n + 1.  Следовательно,  BK = (n + 1)KL = nAC = 2nAMBM = BK + AM = (2n + 1)AM.


Ответ

arctg(2n + 1).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1565

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .