а) Три окружности с центрами A, B, C, касающиеся друг друга и прямой l, расположены так, как показано на рис. Пусть a, b и c — радиусы окружностей с центрами A, B, C. Докажите, что  1/ = 1/ + 1/.
б) Четыре окружности попарно касаются внешним образом (в шести различных точках). Пусть a, b, c, d — их радиусы,  = 1/a, = 1/b, = 1/c и  = 1/d. Докажите, что 2( + + + ) = ( + + + )².

   Решение

Темы:    [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренной трапеции ABCD большее основание  AD = 12,  AB = 6.  Найдите расстояние от точки O пересечения диагоналей до точки K пересечения продолжений боковых сторон, если продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом.

Подсказка

Если P – середина основания AD, то  KO = KP – OP.

Решение

  Пусть P – середина основания AD. Тогда KP – высота треугольника AKD. Точки O и M (середина основания BC) лежат на отрезке KP. Поскольку
∠KAP = 45°,  то  KP = AP = 6,  KB = AK – AB = 6( – 1),  
  Следовательно,    

Ответ

.

Источники и прецеденты использования