ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 56680
Условиеа) Три окружности с центрами A, B, C, касающиеся друг друга и прямой l, расположены так, как показано на рис. Пусть a, b и c — радиусы окружностей с центрами A, B, C. Докажите, что 1/ = 1/ + 1/.б) Четыре окружности попарно касаются внешним образом (в шести различных точках). Пусть a, b, c, d — их радиусы, = 1/a, = 1/b, = 1/c и = 1/d. Докажите, что 2( + + + ) = ( + + + )2. Решениеа) Пусть A1, B1 и C1 — проекции точек A, B и C на прямую l; C2 — проекция точки C на прямую AA1. По теореме Пифагора CC22 = AC2 - AC22, т. е. A1C12 = (a + c)2 - (a - c)2 = 4ac. Аналогично B1C12 = 4bc и A1B12 = 4ab. Так как A1C1 + C1B1 = A1B1, то + = , т. е. 1/ + 1/ = 1/.б) Пусть A, B, C — центры к внешнихк окружностей, D — центр к внутреннейк окружности (рис.). Полупериметр треугольника BDC равен b + c + d, поэтому
cos2 = , sin2 =
(см. задачу 12.13). Если
+ + = 180o,
то
sin2 + sin2 - sin2 + 2 sinsincos = 0
(это утверждение эквивалентно теореме косинусов). Подставив в эту
формулу значения
= BDC/2, = ADC/2
и
= ADB/2, получим
- - + 2 = 0,
т. e.
- - + 2 = 0.
Разделив на d, имеем
- - - + 2 = 0. Поэтому
(+++)2 = (---)2 + 4( + + ) = 4( + + ) + 4( + + ) = 2(+++)2 - 2( + + + ),
т. е.
2( + + + ) = (+++)2.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|