|
|
 |
Условие
В равнобедренной трапеции ABCD основание AD равно 4, основание BC равно 3. Точки M и N лежат на диагонали BD, причём точка M расположена между точками B и N, а отрезки AM и CN перпендикулярны диагонали BD. Найдите CN, если BM : DN = 2 : 3.
Подсказка
Используя подобие треугольников и теорему Пифагора, найдите отношение BM : MO : ON : ND.
Решение
Пусть O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Из подобия треугольников BOC и DOA следует, что
BO : OD = BC : AD = 3 : 4, а из подобия треугольников CON и AOM – ON : OM = CO : OA = 3 : 4.
Обозначим BM = 2x, DN = 3x, ON = 3y, OM = 4y. Поскольку BO : OD = 3 : 4, то 4(2x + 4y) = 3(3x + 3y), откуда x = 7y. Значит, BO = OC = 2x + 4y = 18y,
BN = 21y.
Имеем 9 = BC² = BN² + CN² = BN² + OC² – ON² = y²(21² + 18² – 3²) = 9y²(7² + 6² – 1) = 9·84y².
Отсюда y² = 1/84. Поэтому CN² = BC² – 21²y² = 9 – 21/4 = 15/4.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1570 |
