Задача 53809

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Сторона AB параллелограмма ABCD равна 2,  ∠A = 45°.  Точки E и F расположены на диагонали BD, причём  ∠AEB = ∠CFD = 90°,  BF = ³/₂ BE.
Найдите площадь параллелограмма.

Решение

  Обозначим  EF = x,  тогда  BE = 2x.  Поскольку прямоугольные треугольники ABE и CDF равны, то  FD = 2x,  BD = 5x.
  Высота BK параллелограмма равна   .  По теореме Пифагора  DK² = 25x² – 2,  DA² – 9x² = AE² = 4 – 4x²,  то есть  AD² = 5x² + 4.  Кроме того, из подобия треугольников EDK и ADB следует, что  DA·DK = DB·DE = 15x².
  Следовательно,  (5DA – DK)² = 25DA² – 10DA·DK + DK² = 100 – 2 = 98,  откуда  5DA – DK = 7 .  А поскольку  DA – DK = ,  то  4DA = 6 ,  а
S_ABCD = AD·BK = 3.

Ответ

3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1573