Информация о задаче

Задача 53821

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка O — центр окружности, вписанной в равнобедренную трапецию ABCD (BC || AD). Прямая AO пересекает отрезок CD в точке K. Найдите углы и площадь трапеции, если AO = 5, OK = 3.

Подсказка

Достройте трапецию до равнобедренного треугольника и дважды воспользуйтесь свойством биссектрисы треугольника.

Решение

Поскольку DO — биссектриса треугольника ADK, то

$\displaystyle {\frac{AD}{DK}}$ = $\displaystyle {\frac{AO}{OK}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{3}}$ .

Пусть AD = 5x, DK = 3x. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке M. Тогда AK — биссектриса равнобедренного треугольника AMD. Поэтому ${\frac{AM}{MK}}$ = ${\frac{AD}{DK}}$ .

Пусть AM = MD = y. Тогда

MK = y - 3x, $\displaystyle {\frac{y}{y - 3x}}$ = $\displaystyle {\frac{5x}{3x}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{3}}$ .

Отсюда находим, что y = ${\frac{15x}{2}}$ .

Пусть точка P — середина AD. Обозначим $\angle$ ADC = $\alpha$ . Тогда

cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{PD}{MD}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{5x}{2}}{\frac{15x}{2}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ .

Из треугольника ADK по теореме косинусов находим, что

AK² = AD² + DK² - 2AD^.DK cos $\displaystyle \angle$ ADK, или 64 = 25x² + 9x² - 2^.5x^.3x^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ .

Отсюда находим, что x = ${\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$ .

Радиус вписанной окружности равен:

OP = PDtg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{5x}{2\sqrt{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{5}{\sqrt{3}}}$ .

Если BQ — высота трапеции, то

AB = $\displaystyle {\frac{BQ}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{2OP}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{10}{\sqrt{3}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{3}{2\sqrt{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$ ,

а т.к. отрезок AB равен средней линии трапеции, то

S_ABCD = AB^.BQ = $\displaystyle {\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{10}{\sqrt{3}}}$ = 25 $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Ответ

arccos ${\frac{1}{3}}$ ; 25 $\sqrt{2}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1585