Задача 53833

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC проведены медиана BK, биссектриса BE и высота AD.
Найдите сторону AC, если известно, что прямые BK и BE делят отрезок AD на три равные части и  AB = 4.

Решение

  Пусть M и N – точки пересечения прямых BK и BE с высотой AD. По свойству биссектрисы  ^AN/_ND = ^AB/_BD > 1  (гипотенуза больше катета). Значит, точка N лежит между D и M,  AN = 2ND,  BD = ½ AB = 2,  AD² = AB² – BD² = 12.
  Поскольку M – середина AN, а K – середина AC, то MK – средняя линия треугольника ACN, значит,  MK || CN,  а так как N – середина DM и  CN || BM,  то CN – средняя линия треугольника DBM. Следовательно, C – середина BD, то есть  CD = ½ BD = 1,  а  AC² = AD² + CD² = 13.

Ответ

$\sqrt{13}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1598