Задача 53838

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Площадь треугольника ABC равна  2,  сторона BC равна 1,  ∠BCA = 60°.  Точка D стороны AB удалена от точки B на 3, M – точка пересечения CD с медианой BE. Найдите отношение  BM : ME.

Решение

  Из равенства  S_ABC = ½ AC·BC sin∠C  находим, что AC =  8.  По теореме косинусов  
поэтому  AD = AB – BD = 13 – 3 = 10.
  Через вершину B проведём прямую, параллельную AC. Пусть эта прямая пересекается с продолжением отрезка CD в точке K. Треугольник BDK подобен треугольнику ADC с коэффициентом 0,3, значит,  BK = 0,3 AC = 0,6 CE.  Треугольник BMK подобен треугольнику EMC, следовательно,
BM : ME = BK : CE = 3 : 5.

Ответ

3 : 5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1603