Задача 53850

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Точка D лежит на стороне BC треугольника ABC, а точка O расположена на отрезке AD, причём  AO : OD = 9 : 4.  Прямая, проходящая через вершину B и точку O, пересекает сторону AC в точке E, причём  BO : OE = 5 : 6.  Найдите отношение, в котором точка E делит сторону AC.

Подсказка

Через вершину B проведите прямую, параллельную AC.

Решение

Через точку B проведём прямую, параллельную AC, и продолжим AD до пересечения с этой прямой в точке T. Из подобия треугольников BOT и EOA следует, что  BT : AE = OT : AO = 5 : 6.  Поэтому  TD = TO – DO = ⁵/₆ AO – ⁴/₉ AO = ⁷/₁₈ AO = ⁷/₂₆ AD.  Из подобия треугольников BDT и CDA
AC = ²⁶/₇ BT = ²⁶/₇·⁵/₆ AE = ⁶⁵/₂₁ AE.  Следовательно,  EC = AC – AE = ⁴⁴/₂₁ AE.

Ответ

AE : EC = 21 : 44.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1615