Задача 53857

Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 4- Классы: 8,9 Название задачи: Теорема Менелая.

Условие

Дан треугольник ABC. Некоторая прямая пересекает его стороны AB, BC и продолжение стороны AC в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. Докажите, что

Подсказка

Проведите через вершину B прямую, параллельную AC, и рассмотрите две пары образовавшихся подобных треугольников.

Решение 1

  Через вершину B проведём прямую, параллельную AC. Пусть K – точка её пересечения с прямой B₁C₁ (рис. слева).
  Из подобия треугольников BC₁K и AC₁B₁ следует, что     Из подобия треугольников BA₁K и CA₁B₁ следует, что     Поэтому  

  Следовательно,  

Решение 2

  Пусть l – произвольная прямая, пересекающая прямую A₁C₁ в точке L. Через точки A, B и C проведём прямые, параллельные прямой A₁C₁. Пусть A₂, B₂, C₂ – точки пересечения этих прямых с прямой l (рис. справа). По теореме о пропорциональных отрезках  
  Следовательно,  

Решение 3

  Пусть a, b, c – длины высот треугольников AB₁C₁, BA₁C₁, CA₁B₁, проведённых из вершин A, B, C соответственно. Тогда     Следовательно,  

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1622