Задача 53858

Тема:    [ Две пары подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точки A₁ и B₁ делят стороны BC и AC треугольника ABC в отношениях:  BA₁ : A₁C = 1 : p  и  AB₁ : B₁C = 1 : q.
В каком отношении отрезок AA₁ делится отрезком BB₁?

Подсказка

Продолжите BB₁ до пересечения с прямой, проходящей через вершину A параллельно BC.

Решение

Пусть M – точка пересечения отрезков AA₁ и BB₁. Проведём через вершину A прямую, параллельную BC, и продолжим BB₁ до пересечения с этой прямой в точке K. Из подобия треугольников AB₁K и CB₁B следует, что  ^BC/_AK = ^B₁C/_AB1 = q,  а из подобия треугольников AMK и A₁MB –
^AM/_MA1 = ^AM/_MA1 = ^AK/_A1B = ^BC/_A1B·^AK/_BC = ^{p + 1}/_q.

Ответ

^{p + 1}/_q.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1623