Информация о задаче

Задача 53873

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
Темы:	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника ABC взяты точки C₁, A₁ и B₁ соответственно. Докажите, что если

$\displaystyle \angle$ B₁A₁C = $\displaystyle \angle$ BA₁C₁, $\displaystyle \angle$ A₁B₁C = $\displaystyle \angle$ AB₁C₁ и $\displaystyle \angle$ A₁C₁B = $\displaystyle \angle$ AC₁B₁,

то точки A₁, B₁ и C₁ являются основаниями высот треугольника ABC.

Подсказка

Лучи C₁A и B₁A являются биссектрисами внешних углов треугольника A₁B₁C₁.

Решение

На продолжении отрезка A₁C₁ за точку C₁ возьмём точку M. Тогда

$\displaystyle \angle$ AC₁M = $\displaystyle \angle$ BC₁A₁ = $\displaystyle \angle$ AC₁B₁,

т.е. C₁A — биссектриса угла B₁C₁M. Поэтому точка A равноудалена от сторон этого угла.

Если N — точка на продолжении A₁B₁ за точку B₁, то аналогично докажем, что точка A равноудалена от сторон угла NB₁C₁. Следовательно, точка A равноудалена от сторон угла MA₁N, т.е. лежит на биссектрисе этого угла. Поэтому

$\displaystyle \angle$ AA₁C = $\displaystyle \angle$ AA₁B₁ + $\displaystyle \angle$ B₁A₁C = $\displaystyle \angle$ AA₁C₁ + $\displaystyle \angle$ C₁A₁B = $\displaystyle \angle$ AA₁B.

Следовательно, AA₁ $\perp$ BC.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1638