Задача 53878

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Биссектрисы AM и BN треугольника ABC пересекаются в точке O. Известно, что  AO = MO,  NO = ( – 1)BO.  Найдите углы треугольника ABC.

Подсказка

AN : NB = NO : BO.

Решение

  Обозначим  AB = a.  По свойству биссектрисы треугольника  AN : AB = NO : BO.  Поэтому  AN = a( – 1).  Аналогично   BM = .
  Если  CM = c  и  CN = b,  то  
  Умножив первое уравнение на   – 1  и вычитая из него второе, получим, что  c = .  Значит,  BC = a,  AC = ^CM·AM/_MB = 2a.
  Поскольку  AC² = AB² + BC²,  то треугольник ABC – прямоугольный,   ∠B = 90°,  ∠C = 30°,  ∠A = 60°.

Ответ

60°, 90°, 30°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1643