|
|
 |
Условие
На стороне AB параллелограмма ABCD расположена точка K, на продолжении стороны CD за точку D – точка L. Прямые KD и BL пересекаются в точке N, а прямые LA и CK – в точке M. Докажите, что MN || AD.
Подсказка
Пусть F – точка пересечения прямых BC и LA. Докажите, что LN : NB = LM: MF.
Решение
Обозначим AB = CD = x, AD = BC = y, BK = a, DL = b.
Пусть F – точка пересечения прямых BC и LA, P – точка пересечения прямой CK с прямой, проходящей через точку L параллельно AD.
Из подобия треугольников BKN и LDN следует, что LN : NB = DL : BK = b : a (рис. слева).
Теперь достаточно доказать, что LM : MF = b : a (отсюда будет следовать параллельность прямых MN и FC, то есть MN и AD).
Из подобия треугольников FCL и ADL находим, что
а из подобия треугольников AEK и BCK –
(рис. в центре).
Поэтому
Из подобия треугольников LPC и DEC следует, что
Наконец, из подобия треугольников LMP и FMC следует, что LM : MF = PL : FC = b : a (рис. справа)
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1653 |
