Задача 53897

Темы:    [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Генкин С.А.

В треугольнике ABC проведены высоты AH, BK и CL. Докажите, что  AK·BL·CH = AL·BH·CK = HK·KL·LH.

Подсказка

Выразите все сомножители указанных произведений через стороны и углы данного треугольника.

Решение

Обозначим углы при вершинах A, B, C треугольника ABC через α, β, γ соответственно. Тогда   AK = AB |cos α|,  BL = BC |cos β|,  CH = AC |cos γ|,  AL = AC |cos α|,
BH = AB |cos β|,  CK = BC |cos γ|.  Кроме того, из подобия треугольников CKH и CBA следует, что  HK = AB |cos γ|.  Аналогично  KL = BC |cos α|,  LH = AC |cos β|.  Следовательно, каждое из рассматриваемых произведений равно  AB·BC·AC |cos α cos β cos γ|.

Замечания

Равенство  AK·BL·CH = AL·BH·CK  следует также из теоремы Чевы.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1662