ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53897
Темы:    [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведены высоты AH, BK и CL. Докажите, что  AK·BL·CH = AL·BH·CK = HK·KL·LH.


Подсказка

Выразите все сомножители указанных произведений через стороны и углы данного треугольника.


Решение

Обозначим углы при вершинах A, B, C треугольника ABC через α, β, γ соответственно. Тогда   AK = AB |cos α|,  BL = BC |cos β|,  CH = AC |cos γ|,  AL = AC |cos α|,
BH = AB |cos β|,  CK = BC |cos γ|.  Кроме того, из подобия треугольников CKH и CBA следует, что  HK = AB |cos γ|.  Аналогично  KL = BC |cos α|,  LH = AC |cos β|.  Следовательно, каждое из рассматриваемых произведений равно  AB·BC·AC |cos α cos β cos γ|.

Замечания

Равенство  AK·BL·CH = AL·BH·CK  следует также из теоремы Чевы.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1662

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .