Задача 53900

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Вычисления. Метрические соотношения в многоугольниках ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Некоторая прямая пересекает стороны A₁A₂, A₂A₃, ..., A_nA₁ (или их продолжения) многоугольника A₁A₂...A_n в точках M₁, M₂, ..., M_n соответственно.
Докажите, что  

Подсказка

Спроектируйте вершины многоугольника на произвольную прямую параллельно данной прямой и примените теорему о пропорциональных отрезках.

Решение

  Проведём прямую l, пересекающую данную прямую в точке N. Пусть прямые, проведённые через вершины A₁, A₂, ..., A_n данного многоугольника, пересекают прямую l в точках B₁, B₂, ..., B_n соответственно. Тогда  

  Перемножив почленно эти n равенств, получим, что  

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1665