Задача 53941

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника как на диаметре, делит гипотенузу в отношении  1 : 3.  Найдите острые углы треугольника.

Подсказка

Проведите медиану из вершины прямого угла.

Решение

  Пусть окружность, построенная как на диаметре на катете BC прямоугольного треугольника ABC, пересекает гипотенузу AB в точке D, отличной от B, причём AD : BD = 3 : 1.

  Первый способ.  Проведём медиану CM. Тогда  AM = CM.

  В прямоугольном треугольнике CDM гипотенуза CM вдвое больше катета DM. Поэтому  ∠DCM = 30°,  а ∠AMC = 60°.  Угол при вершине M равнобедренного треугольника AMC равен 60°. Следовательно, этот треугольник равносторонний. Поэтому   A = 60°.

  Второй способ.  (^BC/_AC)² = ^AD/_BD = 3,  то есть  tg∠A =

Ответ

30°, 60°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1705