Задача 53957

Темы:    [ Вневписанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Угол при вершине A треугольника ABC равен 120^o. Окружность касается стороны BC и продолжений сторон AB и AC. Докажите, что расстояние от вершины A до центра окружности равно периметру треугольника ABC.

Подсказка

Пусть D — точка касания окружности с прямой AB. Докажите, что отрезок AD равен полупериметру треугольника ABC.

Решение

Пусть O — центр окружности, D, E и F — точки касания с прямыми AB, BC и AC соответственно, 2p — периметр треугольника ABC. Тогда AD = AF, BE = BD и CE = CF. Поэтому

2p = AB + BC + AC = AB + (BE + EC) + AC =

= (AB + BE) + (EC + AC) = (AB + BD) + (CF + AC) = AD + AF.

Значит, AD = AF = p.

Поскольку луч AO — биссектриса угла DAC, то DAO = 60^o. Из прямоугольного треугольника ADO находим, что

AO = 2AD = 2p.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1721