Задача 53989

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

CH – высота прямоугольного треугольника ABC , проведённая из вершины прямого угла. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники ACH , BCH и ABC , равна CH .

Решение

Обозначим BC = a , AC = b , AB = c , AH = b1 , BH = a1 , CH = h . Пусть r , r1 и r2 – радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC , AHC и BHC соответственно. Поскольку диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен сумме катетов без гипотенузы, то

r = , r1 = , r2 = .
Следовательно,
r + r1 + r2 = =

= = h.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1753