Задача 53995

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что две различные окружности касаются тогда и только тогда, когда они касаются некоторой прямой в одной и той же точке.

Решение

Пусть M — единственная общая точка окружностей с центрами O₁ и O₂. Докажем, что точка M лежит на прямой O₁O₂. Предположим, что это не так. Тогда точка, симметричная ей относительно прямой O₁O₂, также принадлежит обеим окружностям, что противоречит единственности общей точки окружностей.

Прямая, проходящая через точку M перпендикулярно O₁O₂, является касательной к каждой из окружностей. Таким образом, доказано, что если окружности касаются, то существует прямая, которой они касаются в одной и той же точке.

Пусть теперь окружности с центрами O₁ и O₂ касаются некоторой прямой l в точке M. Тогда радиусы O₁M и O₂M перпендикулярны l, значит, точка M лежит на прямой O₁O₂. Предположим, что окружности имеют еще одну общую точку K, отличную от M. Тогда точка, симметричная точке K относительно прямой O₁O₂, также принадлежит обеим окружностям, что невозможно, т.к. две различные окружности не могут иметь три общие точки.

Таким образом, мы доказали, что если существует прямая, касающаяся каждой из двух различных окружностей в одной и той же точке, то эта точка — единственная общая точка окружностей, т.е. окружности касаются.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1759