Задача 53996

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Взаимное расположение двух окружностей ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Две окружности касаются внешним (внутренним) образом. Докажите, что сумма (разность) их радиусов равна расстоянию между центрами. Верно ли обратное?

Решение

Если окружности касаются, то единственная их общая точка M (точка касания) лежит на линии центров. Если касание внешнее то центры окружностей лежат по разные стороны от общей касательной, проходящей через точку M. Значит, точка M лежит между центрами O₁ и O₂ окружностей, поэтому

O₁O₂ = r + R.

Если касание внутреннее, то центры окружностей лежат по одну сторону от общей касательной, проходящей через точку M, поэтому

O₁O₂ = | R - r|.

Обратно, пусть сумма радиусов r и R двух окружностей равна расстоянию между их центрами O₁ и O₂. Тогда точка M отрезка O₁O₂, удалённая от точки O₁ на расстояние r, удалена на расстояние R от точки O₂, значит, M — общая точка окружностей. Если K — ещё одна общая точка этих окружностей, то она не лежит на прямой O₁O₂, поэтому

O₁O₂ < O₁K + O₂K = r + R,

что невозможно. Аналогично для случая, когда расстояние между центрами окружности равно разности их радиусов.

Ответ

Верно.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1760