Задача 53998

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Окружности с центрами O₁ и O₂ касаются внешним образом в точке K. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках A и B и пересекает их общую касательную, проходящую через точку K, в точке M. Докажите, что O₁MO₂ = AKB = 90^o.

Подсказка

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Решение

O₁MO₂ - угол между биссектрисами смежных углов, поэтому O₁MO₂ = 90^o. Поскольку MA = MK = MB, точка K лежит на окружности с диаметром AB, следовательно, AKB = 90^o.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1762