ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53999
Темы:    [ Касающиеся окружности ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности касаются друг друга внутренним образом. Известно, что два радиуса большей окружности, угол между которыми равен 60o , касаются меньшей окружности. Найдите отношение радиусов окружностей.

Решение

Пусть окружности с центрами O и O1 и радиусами R и r ( R>r ) соответственно касаются внутренним образом в точке A , а радиусы OB и OC большей окружности касаются меньшей соответственно в точках M и N , причём BOC = 60o .
Поскольку центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, AOB = 30o , а т.к. линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, то

OO1 = OA - O1A = R - r.

Из прямоугольного треугольника OO1M находим, что
OO1 = 2O1M, илиR - r = 2r,

откуда = .

Ответ

1:3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1763

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .