Задача 54057

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Окружность, построенная на стороне треугольника как на диаметре, высекает на двух других сторонах равные отрезки.
Докажите, что треугольник равнобедренный.

Подсказка

Воспользуйтесь признаком равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе.

Решение

  Пусть окружность, построенная на стороне BC треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и BC соответственно в точках M и N, причём
BM = CN.  Тогда отрезок BC виден из этих точек под прямым углом.
  Прямоугольные треугольники BMC и CNB равны по гипотенузе и катету, поэтому  ∠B = ∠C.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1820