Задача 54061

Темы:    [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Прямая касается двух окружностей в точках A и B. Линия центров пересекает первую окружность в точках E и C, а вторую – в точках D и F.
Докажите, что прямая AC либо параллельна, либо перпендикулярна BD.

Решение

  Пусть O₁ и O₂ – центры первой и второй окружностей соответственно. Рассмотрим случай, когда точки A и B расположены по одну сторону от линии центров, а точки E, C, D и F последовательно расположены на прямой O₁O₂ и точка C между точками E и D.

  Прямые O₁A и O₂B перпендикулярны AB, поэтому они параллельны, значит,  ∠AO₁C = ∠BO₂F.  У равнобедренных треугольников AO₁C и BO₂F равны углы при вершинах, поэтому равны и углы при основаниях, то есть  ∠ACO₁ = ∠BFO₂.  Следовательно, прямые AC и BF параллельны, а так как  ∠DBF = 90°,  то прямые AC и BD перпендикулярны.
  Аналогично разбираются остальные случаи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1824