Задача 54066

Темы:    [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ] [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Постройте окружность наибольшего радиуса, вписанную в данный сегмент данного круга. (Сегмент - это часть круга, отсекаемая от него хордой).

Решение

Пусть AB - хорда круга радиуса R с центром O, OC - радиус круга, перпендикулярный этой хорде. Тогда точка M пересечения отрезков AB и OC - середина AB. Докажем, что окружность с диаметром MC - искомая. Пусть окружность радиуса x с центром O₂, отличным от центра O₁ окружности с диаметром MC = 2r, вписана в данный сегмент ACB и касается хорды AB в точке K, а данной окружности - в точке D. Тогда точки O, O₂ и D лежат на одной прямой. Пусть эта прямая пересекает хорду AB в точке P, а окружность с центром O₂- в точке Q. Тогда

R - 2r = OM < OP = OD - DP < R - DQ = R - 2x,

откуда x < r.

Ответ

Диаметр искомой окружности равен разности радиуса данного круга и расстояния от его центра до хорды данного сегмента.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1829