Задача 54067

Темы:    [ Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум. ] [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Хорда AB видна из центра круга радиуса R под углом, равным 120^o . Найдите радиусы наибольших окружностей, вписанных в сегменты, на которые хорда AB разбивает данный круг.

Решение

Окружность наибольшего радиуса, вписанная в данный сегмент с основанием AB , касается хорды AB в её середине. Действительно, пусть AB — хорда круга радиуса R с центром O , OC — радиус круга, перпендикулярный этой хорде. Тогда точка M пересечения отрезков AB и OC — середина AB . Докажем, что окружность с диаметром MC — искомая. Пусть окружность радиуса x с центром O2 , отличным от центра O1 окружности с диаметром MC = 2r , вписана в данный сегмент ACB и касается хорды AB в точке K , а данной окружности — в точке D . Тогда точки O , O2 и D лежат на одной прямой. Пусть эта прямая пересекает хорду AB в точке P , а окружность с центром O2 — в точке Q . Тогда

R - 2r = OM < OP = OD - DP < R - DQ = R - 2x,
откуда x < r .
Если теперь r — радиус наибольшей окружности вписанный в меньший из двух данных сегментов, то
r = CM = (R - OM) = (R - OA) = (R - R) = R.
Аналогично находим, что радиус наибольшей окружности, вписанной во второй сегмент, равен R .

Ответ

R ╩ R .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1830