Информация о задаче

Задача 54132

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружностей. Найдите модуль разности отрезков BC и BD, если расстояние между центрами окружностей равно a, а центры окружностей лежат по одну сторону от общей хорды AB.

Подсказка

Докажите, что точки C, B и D лежат на одной прямой и воспользуйтесь теоремой о средней линии треугольника.

Решение

Поскольку точка B лежит на окружностях с диаметрами AC и AD, то отрезки AC и AD видны из этой точки под прямыми углами, т.е.

$\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle \angle$ ABD = 90^o.

Поэтому точки C, B и D лежат на одной прямой, а т.к. центры окружностей лежат по одну сторону от прямой AB, то точка B лежит вне отрезка CD. Значит, | BC - BD| = CD.

Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей с диаметрами AC и AD. Тогда O₁O₂ — средняя линия треугольника ACD. Следовательно,

| BC - BD| = CD = 2O₁O₂ = 2a.

Ответ

2a.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1895